代数示例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 8 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 8 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 + 7 \cdot 1 + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4.1.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 + 7 + 42 (- 1) + 26$

解题步骤 4.1.6

将 $42$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 8 + 7 - 42 + 26$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$9 + 7 - 42 + 26$

解题步骤 4.2.2

将 $9$ 和 $7$ 相加。

$16 - 42 + 26$

解题步骤 4.2.3

从 $16$ 中减去 $42$ 。

$- 26 + 26$

解题步骤 4.2.4

将 $- 26$ 和 $26$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26}{x + 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(- 8)$ 的下一项下方。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 9)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(9)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$16$

解题步骤 6.7

将结果 $(16)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 16)$ 的结果置于被除数 $(42)$ 的下一项下方。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

解题步骤 6.9

将结果 $(26)$ 中的最新项乘以除数 $(- 1)$ 并将 $(- 26)$ 的结果置于被除数 $(26)$ 的下一项下方。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (16) x + 26$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ 。

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解题步骤 7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

解题步骤 7.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

解题步骤 7.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

解题步骤 7.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 - 9 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 26$

解题步骤 7.1.3.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 9 + 16 \cdot - 1 + 26$

解题步骤 7.1.3.5

从 $- 1$ 中减去 $9$ 。

$- 10 + 16 \cdot - 1 + 26$

解题步骤 7.1.3.6

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10 - 16 + 26$

解题步骤 7.1.3.7

从 $- 10$ 中减去 $16$ 。

$- 26 + 26$

解题步骤 7.1.3.8

将 $- 26$ 和 $26$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26}{x + 1}$

解题步骤 7.1.5

用 $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$26$

解题步骤 7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$

解题步骤 7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

解题步骤 7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

解题步骤 7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

解题步骤 7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} - 10 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

解题步骤 7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$

解题步骤 7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

解题步骤 7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $26 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

解题步骤 7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							+	$26 x$	+	$26$

解题步骤 7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $26 x + 26$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$

解题步骤 7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$
										$0$

解题步骤 7.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 10 x + 26$

解题步骤 7.1.6

将 $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

解题步骤 7.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 7.4

将 $x^{2} - 10 x + 26$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $x^{2} - 10 x + 26$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = 26$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3

化简。

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解题步骤 7.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.3.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $26$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.3

从 $100$ 中减去 $104$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.4.2.3.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm i$

解题步骤 7.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.4.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ 。

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解题步骤 7.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $26$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.3

从 $100$ 中减去 $104$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm i$

解题步骤 7.4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 5 + i$

解题步骤 7.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ 。

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解题步骤 7.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $26$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.3

从 $100$ 中减去 $104$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.3

化简 $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm i$

解题步骤 7.4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 5 - i$

解题步骤 7.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 5 + i, 5 - i$

解题步骤 7.5

最终解为使 $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x + 1) (x - 5 - i) (x - 5 + i)$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$ 的根（零点）。

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

解题步骤 10

代数 示例

代数示例