代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (6 \cdot 6 - 9 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$1 (36 - 9 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$1 (36 - 9) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

从 $36$ 中减去 $9$ 。

$1 \cdot 27 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 27 - 3 (3 \cdot 6 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$1 \cdot 27 - 3 (18 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 27 - 3 (18 - 6) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

从 $18$ 中减去 $6$ 。

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (3 \cdot 9 - 6 \cdot 6)$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (27 - 6 \cdot 6)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (27 - 36)$

解题步骤 4.2.2

从 $27$ 中减去 $36$ 。

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 \cdot - 9$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$27 - 3 \cdot 12 - 1 \cdot - 9$

解题步骤 5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $12$ 。

$27 - 36 - 1 \cdot - 9$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$27 - 36 + 9$

解题步骤 5.2

从 $27$ 中减去 $36$ 。

$- 9 + 9$

解题步骤 5.3

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$0$

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