代数示例

${(2 x^{3} - 1)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - k} \cdot {(- 1)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - 0} \cdot {(- 1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - 3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x^{3})}^{4 - 4} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(2 x^{3})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(2 x^{3})}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(2 x^{3})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$2^{4} {(x^{3})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 {(x^{3})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{3})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{3 \cdot 4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{12} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 x^{12} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.6

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$16 x^{12} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.7

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$16 x^{12} + 4 \cdot (2^{3} {(x^{3})}^{3}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 x^{12} + 4 \cdot (8 {(x^{3})}^{3}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.9

将 ${(x^{3})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{12} + 4 \cdot (8 x^{3 \cdot 3}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.9.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$16 x^{12} + 4 \cdot (8 x^{9}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.10

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{12} + 32 x^{9} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.11

计算指数。

$16 x^{12} + 32 x^{9} \cdot - 1 + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 6 \cdot {(2 x^{3})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.13

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 6 \cdot (2^{2} {(x^{3})}^{2}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 6 \cdot (4 {(x^{3})}^{2}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.15

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.15.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 6 \cdot (4 x^{3 \cdot 2}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.15.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 6 \cdot (4 x^{6}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.16

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.17

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} + 4 \cdot {(2 x^{3})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.19

化简。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} + 4 \cdot (2 x^{3}) \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.20

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} + 8 x^{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.21

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} + 8 x^{3} \cdot - 1 + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.22

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + 1 \cdot {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.23

将 ${(2 x^{3})}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + {(2 x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.24

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + 2^{0} {(x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.25

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + 1 {(x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.26

将 ${(x^{3})}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + {(x^{3})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.27

将 ${(x^{3})}^{0}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.27.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + x^{3 \cdot 0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.27.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + x^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.28

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + 1 \cdot {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.29

将 ${(- 1)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.30

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 x^{12} - 32 x^{9} + 24 x^{6} - 8 x^{3} + 1$

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