代数示例

$x^{4} - 48 x^{2} - 49$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

解题步骤 2

当 $x = 7$ 时，对 $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

解题步骤 2.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

解题步骤 2.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

解题步骤 2.5

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(49)$ 的结果置于被除数 $(- 48)$ 的下一项下方。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

解题步骤 2.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

解题步骤 2.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

解题步骤 2.9

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(49)$ 的结果置于被除数 $(- 49)$ 的下一项下方。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

解题步骤 2.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

解题步骤 2.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

解题步骤 2.12

化简商多项式。

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

解题步骤 3

因为 $7 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $7$ 是函数实根的上界。

上界： $7$

解题步骤 4

当 $x = - 7$ 时，对 $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

解题步骤 4.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

解题步骤 4.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

解题步骤 4.5

将结果 $(- 7)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(49)$ 的结果置于被除数 $(- 48)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

解题步骤 4.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

解题步骤 4.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

解题步骤 4.9

将结果 $(- 7)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(49)$ 的结果置于被除数 $(- 49)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

解题步骤 4.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

解题步骤 4.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

解题步骤 4.12

化简商多项式。

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

解题步骤 5

因为 $- 7 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 7$ 是函数实根的下界。

下界： $- 7$

解题步骤 6

当 $x = 49$ 时，对 $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(49)$ 并将 $(49)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

解题步骤 6.5

将结果 $(49)$ 中的最新项乘以除数 $(49)$ 并将 $(2401)$ 的结果置于被除数 $(- 48)$ 的下一项下方。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

解题步骤 6.7

将结果 $(2353)$ 中的最新项乘以除数 $(49)$ 并将 $(115297)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

解题步骤 6.9

将结果 $(115297)$ 中的最新项乘以除数 $(49)$ 并将 $(5649553)$ 的结果置于被除数 $(- 49)$ 的下一项下方。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

解题步骤 7

因为 $49 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $49$ 是函数实根的上界。

上界： $49$

解题步骤 8

当 $x = - 49$ 时，对 $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

解题步骤 8.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

解题步骤 8.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 49)$ 并将 $(- 49)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

解题步骤 8.5

将结果 $(- 49)$ 中的最新项乘以除数 $(- 49)$ 并将 $(2401)$ 的结果置于被除数 $(- 48)$ 的下一项下方。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

解题步骤 8.7

将结果 $(2353)$ 中的最新项乘以除数 $(- 49)$ 并将 $(- 115297)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

解题步骤 8.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

解题步骤 8.9

将结果 $(- 115297)$ 中的最新项乘以除数 $(- 49)$ 并将 $(5649553)$ 的结果置于被除数 $(- 49)$ 的下一项下方。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

解题步骤 8.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

解题步骤 8.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

解题步骤 8.12

化简商多项式。

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

解题步骤 9

因为 $- 49 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 49$ 是函数实根的下界。

下界： $- 49$

解题步骤 10

确定上界与下界。

上界： $7, 49$

下界： $- 7, - 49$

解题步骤 11

代数 示例

代数示例