代数示例

$x^{4} + 170 x^{2} + 169$

解题步骤 1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} + 170 x^{2} + 169$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} + 170 u + 169$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 170 u + 169$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + i x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $i$ 。在本例中，其积即为 $169$ ，和为 $170$ 。

$1, 169$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 169)$

解题步骤 4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 169)$

解题步骤 5

将多项式 $x^{2} + 1$ 中的常数乘以 $- i^{2}$ ，其中 $i^{2}$ 等于 $- 1$ 。

$(x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} + 169)$

解题步骤 6

将多项式 $x^{2} + 169$ 中的常数乘以 $- i^{2}$ ，其中 $i^{2}$ 等于 $- 1$ 。

$(x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} - 169 i^{2})$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $i = i$ 。

$(x + i) (x - i) (x^{2} - 169 i^{2})$

解题步骤 8

将 $169 i^{2}$ 重写为 ${(13 i)}^{2}$ 。

$(x + i) (x - i) (x^{2} - {(13 i)}^{2})$

解题步骤 9

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $i = 13 i$ 。

$(x + i) (x - i) ((x + 13 i) (x - (13 i)))$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + i) (x - i) ((x + 13 i) (x - 13 i))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(x + i) (x - i) (x + 13 i) (x - 13 i)$

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