代数示例

$\sqrt[3]{x} - 6$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt[3]{y} - 6$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{y} - 6 = x$ 。

$\sqrt[3]{y} - 6 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$\sqrt[3]{y} = x + 6$

解题步骤 2.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

化简。

$y = {(x + 6)}^{3}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(x + 6)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 6 + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 36 + 6^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 6^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.1.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.3

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.4

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.5

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.2.6

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.3

将 ${(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ((\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ 。

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解题步骤 4.2.3.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} - 6) - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.4.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.5.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 4.2.3.5.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.3

将 $- 6$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.1.4

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.5.2

从 $- 6 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $6 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 18 (- 12 \sqrt[3]{x}) + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.7

化简。

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解题步骤 4.2.3.7.1

将 $- 12$ 乘以 $18$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.7.2

将 $18$ 乘以 $36$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

解题步骤 4.2.3.8

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} + 108 \cdot - 6 + 216$

解题步骤 4.2.3.9

将 $108$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

解题步骤 4.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.4.1

合并 $x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1.1

将 $- 18 \sqrt[3]{x^{2}}$ 和 $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0 + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

解题步骤 4.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

解题步骤 4.2.4.1.3

从 $648$ 中减去 $648$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 0 + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

解题步骤 4.2.4.1.4

将 $x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

解题步骤 4.2.4.1.5

将 $- 216$ 和 $216$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} + 0 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.1.6

将 $x + 108 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.2

从 $108 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $216 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.3

合并 $x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $- 108 \sqrt[3]{x}$ 和 $108 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216)$ 。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

解题步骤 4.3.3

去掉圆括号。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

解题步骤 4.3.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.4.1

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (6 x^{2}) + 3 \cdot (6^{2} x) + 6^{3}} - 6$

解题步骤 4.3.4.2

使用二项式定理来对 $x^{3} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 \cdot 6^{2} x + 6^{3}$ 进行因式分解。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{{(x + 6)}^{3}} - 6$

解题步骤 4.3.4.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 6 - 6$

解题步骤 4.3.5

合并 $x + 6 - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

代数 示例

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