代数示例

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $7$ 。

$2, 5$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 9 = - 45$ 并且它们的和为 $b = - 44$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 44 x$ 中分解出因数 $- 44$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

解题步骤 2.1.2

把 $- 44$ 重写为 $1$ 加 $- 45$

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + (1 - 45) x - 9}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + 1 x - 45 x - 9}$

解题步骤 2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + x - 45 x - 9}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{(5 x^{2} + x) - 45 x - 9}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{x (5 x + 1) - 9 (5 x + 1)}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{(5 x + 1) (x - 9)}$

解题步骤 3

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(x^{2} + 2) (5 x + 1), (5 x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 6

$1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 7

$x^{2} + 2$ 的因式是 $x^{2} + 2$ 本身。

$(x^{2} + 2) = x^{2} + 2$

$(x^{2} + 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 8

$5 x + 1$ 的因式是 $5 x + 1$ 本身。

$(5 x + 1) = 5 x + 1$

$(5 x + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 9

$x - 9$ 的因式是 $x - 9$ 本身。

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 10

$x^{2} + 2, 5 x + 1, 5 x + 1, x - 9$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x^{2} + 2) (5 x + 1) (x - 9)$

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