代数示例

$y = 5 x^{3}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 5 y^{3}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $5 y^{3} = x$ 。

$5 y^{3} = x$

解题步骤 2.2

将 $5 y^{3} = x$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $5 y^{3} = x$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{5}$

解题步骤 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5}}$

解题步骤 2.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{5}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{5}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{5}}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 2.4.3.2

对 $\sqrt[3]{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 2.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

解题步骤 2.4.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

解题步骤 2.4.3.5

将 ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 2.4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 2.4.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.4.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.4.3.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

解题步骤 2.4.3.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

解题步骤 2.4.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.4.1

将 ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{5^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

解题步骤 2.4.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{25}}{5}$

解题步骤 2.4.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 25}}{5}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 25}}{5}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$ 是否为 $f (x) = 5 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (5 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3})}}{5}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $125 x^{3}$ 重写为 ${(5 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

解题步骤 4.2.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 4.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5})}^{3}$

解题步骤 4.3.3

对 $\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 x}}^{3}}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4

将 ${\sqrt[3]{25 x}}^{3}$ 重写为 $25 x$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{25 x}$ 重写成 ${(25 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{{(25 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{{(25 x)}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{{(25 x)}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{25 x}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.4.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{25 x}{5^{3}})$

解题步骤 4.3.5

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{25 x}{125})$

解题步骤 4.3.6

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{25 x}{5 (25)})$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = 5 (\frac{25 x}{5 \cdot 25})$

解题步骤 4.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = \frac{25 x}{25}$

解题步骤 4.3.7

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = \frac{25 x}{25}$

解题步骤 4.3.7.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$ 为 $f (x) = 5 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 x}}{5}$

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