代数示例

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ 。

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$12^{x} = \frac{1}{y}$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $\frac{1}{y} = 12^{x}$ 。

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

解题步骤 2.3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1$

解题步骤 2.3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{1}{y} = 12^{x}$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{y} = 12^{x}$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = 12^{x} y$

解题步骤 2.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.3.1

将 $12^{x} y$ 中的因式重新排序。

$1 = y \cdot 12^{x}$

解题步骤 2.3.4

求解方程。

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解题步骤 2.3.4.1

将方程重写为 $y \cdot 12^{x} = 1$ 。

$y \cdot 12^{x} = 1$

解题步骤 2.3.4.2

将 $y \cdot 12^{x} = 1$ 中的每一项除以 $12^{x}$ 并化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $y \cdot 12^{x} = 1$ 中的每一项都除以 $12^{x}$ 。

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

解题步骤 2.3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

约去 $12^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

解题步骤 2.3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{12^{x}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ 是否为 $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ 。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

解题步骤 4.2.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

解题步骤 4.2.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{12^{x}})$ 。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

解题步骤 4.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

解题步骤 4.3.4

将 $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ 重写为 $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ 。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

解题步骤 4.3.5

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

解题步骤 4.3.6

$12$ 的对数底 $12$ 的值为 $1$ 。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

解题步骤 4.3.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

解题步骤 4.3.8

$1$ 的对数底 $12$ 的值为 $0$ 。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

解题步骤 4.3.9

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ 为 $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

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