代数示例

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.2

从 $4 x^{3} + 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 7 u + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 1.7

从 $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $4 x (x^{2} + 4)$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 1.7.2

从 $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.7.3

从 $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.9

使用 AC 法来对 $4 u + u^{2} + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

解题步骤 1.10

因数。

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解题步骤 1.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 3.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 3.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6

最终解为使 $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

解题步骤 7

代数 示例

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