代数示例

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

解题步骤 1

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

解题步骤 2

因为从最高次项到最低次项有 $3$ 次符号的改变，所以最多有 $3$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的正数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $(3 - 2)$ ）。

正根： $3$ 或 $1$

解题步骤 3

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.8

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.8.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.8.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.8.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

解题步骤 5

因为从最高次项到最低次项有 $1$ 次符号的改变，所以最多有 $1$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。

负根： $1$

解题步骤 6

正根的可能个数为 $3$ 或 $1$ ，负根的可能个数为 $1$ 。

正根： $3$ 或 $1$

负根： $1$

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