代数示例

$y = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\sqrt{3 y - 2}}{2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$ 。

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt{3 y - 2} = x \cdot 2$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\sqrt{3 y - 2} = 2 x$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 y - 2}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 y - 2}$ 重写成 ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简 ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 y - 2)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

化简。

$3 y - 2 = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简 ${(2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$3 y - 2 = 2^{2} x^{2}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 y - 2 = 4 x^{2}$

解题步骤 2.4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 y = 4 x^{2} + 2$

解题步骤 2.4.3.2

将 $3 y = 4 x^{2} + 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $3 y = 4 x^{2} + 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2} + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

对 $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{\sqrt{3 x - 2}}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

将 ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ 重写为 $3 x - 2$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x - 2}$ 重写成 ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

解题步骤 4.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

合并 $3 x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 4.2.5.1.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3})$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2} + 2}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $4 x^{2} + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.2.3

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1) - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.4

运用分配律。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 - 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 0}}{2}$

解题步骤 4.3.3.8

将 $4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.3.9

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.3.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ 为 $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

代数 示例

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