代数示例

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ 重写为 $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ 。

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3.1.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{3}$ 和 $\frac{x}{3}$ 相加。

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4

组合 $2$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.5

运用分配律。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.6.1.2

重写表达式。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.6.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

解题步骤 1.6.2.3

重写表达式。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

解题步骤 2.2.2

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 4

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 4.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

解题步骤 4.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

计算 $f (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.7

乘以 $2 (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 5.2.1.7.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

解题步骤 5.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

解题步骤 5.2.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.5

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 6

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 7

代数 示例

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