代数示例

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

解题步骤 1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $12 x$ 。

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

解题步骤 2.1.6

从 $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

解题步骤 2.2

因数。

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解题步骤 2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 2.2.1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.4

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.5

从 $- 8$ 中减去 $16$ 。

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.6

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$- 24 + 12 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.7

将 $- 24$ 和 $12$ 相加。

$- 12 + 12$

解题步骤 2.2.1.3.8

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2.1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

解题步骤 2.2.1.5

用 $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

解题步骤 2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

解题步骤 2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{2} - 12 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

解题步骤 2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x + 12$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

解题步骤 2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 6 x + 6$

解题步骤 2.2.1.6

将 $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ 书写为因数的集合。

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

解题步骤 2.2.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6

将 $x^{2} - 6 x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} - 6 x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.2.3.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 7

最终解为使 $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

小数形式：

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

解题步骤 9

代数 示例

代数示例