代数示例

$f (x) = x^{11} + x^{5}$

解题步骤 1

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 1.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = {(- x)}^{11} + {(- x)}^{5}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{11} x^{11} + {(- x)}^{5}$

解题步骤 1.2.2

对 $- 1$ 进行 $11$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{11} + {(- x)}^{5}$

解题步骤 1.2.3

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - x^{11} + {(- 1)}^{5} x^{5}$

解题步骤 1.2.4

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{11} - x^{5}$

解题步骤 2

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 2.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 2.2

因为 $- x^{11} - x^{5}$ $\neq$ $x^{11} + x^{5}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 3.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $x^{11} + x^{5}$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (x^{11} + x^{5})$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - x^{11} - x^{5}$

解题步骤 3.2

因为 $- x^{11} - x^{5} = - x^{11} - x^{5}$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

解题步骤 4

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