代数示例

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $7^{y - 1}$ 。

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

解题步骤 2.3.1.2.2

重写表达式。

$7^{y - 1} = 3 x$

解题步骤 2.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

解题步骤 2.5

通过将 $y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{y - 1})$ 。

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

解题步骤 2.6

化简左边。

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解题步骤 2.6.1

化简 $(y - 1) \ln (7)$ 。

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解题步骤 2.6.1.1

运用分配律。

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 1 \ln (7)$ 重写为 $- \ln (7)$ 。

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

解题步骤 2.7

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

解题步骤 2.8

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.8.1

在等式两边都加上 $\ln (7)$ 。

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

解题步骤 2.8.2

在等式两边都加上 $\ln (3 x)$ 。

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

解题步骤 2.9

将 $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ 中的每一项除以 $\ln (7)$ 并化简。

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解题步骤 2.9.1

将 $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ 中的每一项都除以 $\ln (7)$ 。

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 2.9.2

化简左边。

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解题步骤 2.9.2.1

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 2.9.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 2.9.3

化简右边。

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解题步骤 2.9.3.1

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 2.9.3.1.2

重写表达式。

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $7^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3.2

通过将 $x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3.3

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

解题步骤 4.2.3.3.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

解题步骤 4.2.4

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ 。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3

合并 $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $0$ 和 $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

解题步骤 4.3.4

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

解题步骤 4.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

解题步骤 4.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

解题步骤 4.3.6.3

重写表达式。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ 为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

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