代数示例

$y = 4 x^{2} + 3$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 4 y^{2} + 3$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $4 y^{2} + 3 = x$ 。

$4 y^{2} + 3 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$4 y^{2} = x - 3$

解题步骤 2.3

将 $4 y^{2} = x - 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $4 y^{2} = x - 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 3}{4}}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{x - 3}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从 $x - 3$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 2.5.2.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 2.5.3

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x - 3}$

解题步骤 2.5.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{x - 3}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 是否为 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的值域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[3, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{x - 3}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 3 \geq 0$

解题步骤 4.3.2

在不等式两边同时加上 $3$ 。

$x \geq 3$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[3, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 的定义域为 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 的值域又为 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ 为 $f (x) = 4 x^{2} + 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例