代数示例

$y = 3 x^{2} - 7 x + 2$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

对 $3 x^{2} - 7 x + 2$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 7$

$c = 2$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$d = \frac{- 7}{6}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{7}{6}$

$d = - \frac{7}{6}$

$d = - \frac{7}{6}$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 2 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 2 - \frac{49}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 2 - \frac{49}{12}$

$e = 2 - \frac{49}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$e = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{49}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$e = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{49}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{2 \cdot 12 - 49}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$e = \frac{24 - 49}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.5.2

从 $24$ 中减去 $49$ 。

$e = \frac{- 25}{12}$

$e = \frac{- 25}{12}$

解题步骤 1.1.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{25}{12}$

$e = - \frac{25}{12}$

$e = - \frac{25}{12}$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ 。

$3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

$3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

$y = 3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 3$

$h = \frac{7}{6}$

$k = - \frac{25}{12}$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{7}{6}, - \frac{25}{12})$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{12}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{7}{6}, - 2)$

$(\frac{7}{6}, - 2)$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{7}{6}$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$