代数示例

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $3 e^{- 4 y + 1} = x$ 。

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

解题步骤 2.2

将 $3 e^{- 4 y + 1} = x$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $3 e^{- 4 y + 1} = x$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $e^{- 4 y + 1}$ 除以 $1$ 。

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

解题步骤 2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.4

展开左边。

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解题步骤 2.4.1

通过将 $- 4 y + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 4 y + 1})$ 。

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.4.3

将 $- 4 y + 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.5

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

解题步骤 2.6

将 $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 2.6.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ 是否为 $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.1.2

用 $e^{- 4 x + 1}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.2

使用对数规则把 $- 4 x + 1$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $- 4 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.5

运用分配律。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.6

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

解题步骤 4.2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

合并 $4 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

解题步骤 4.2.5.1.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

将 $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.1.4

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.2

运用分配律。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.3

乘以 $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

解题步骤 4.3.3.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.5.1

对 $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.5.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.2.1.2.1

约去公因数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.2.1.2.2

重写表达式。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.2.2

化简。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.5.3.1

将 ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.5.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.3.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.3.1.2.1

约去公因数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.3.1.2.2

重写表达式。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.5.3.2

计算指数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.4

合并 $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $\ln (\frac{x}{3})$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

解题步骤 4.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 4.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

约去公因数。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 4.3.6.2

重写表达式。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ 为 $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

代数 示例

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