代数示例

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ 。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π}{12} (x - 2)$ 。

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

解题步骤 1.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

解题步骤 1.2.3

因为 $\frac{π}{12}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{12} (x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

解题步骤 1.2.8

将 $\frac{π}{12}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

解题步骤 1.2.9

组合 $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ 和 $\frac{π}{12}$ 。

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

解题步骤 1.2.10

组合 $5$ 和 $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ 。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{π}{12}$ 和 $- 2$ 。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 2$ 移到 $π$ 的左侧。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.3

约去 $- 2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.3.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.4

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.5

组合 $\frac{π}{12}$ 和 $x$ 。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

解题步骤 1.3.2.6

将 $0$ 和 $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ 相加。

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

解题步骤 1.3.3

重新排序项。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{5 π}{12}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ 。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{5 π}{12}$ 和 $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.3

因为 $\frac{π}{12}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π x}{12}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.5

将 $\frac{π}{12}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3.6

因为 $- \frac{π}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{6}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

解题步骤 2.3.7

合并分数。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{π}{12}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

解题步骤 2.3.7.2

将 $\frac{π}{12}$ 乘以 $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ 。

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

解题步骤 2.8

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项除以 $5 π$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ 中的每一项都除以 $5 π$ 。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用 $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

解题步骤 5.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

解题步骤 5.1.3.2

用 $0$ 除以 $π$ 。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

解题步骤 5.4.5

化简分子。

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解题步骤 5.4.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 5.4.5.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

解题步骤 5.4.6

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.6.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

解题步骤 5.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

解题步骤 5.4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.5

等式两边同时乘以 $\frac{12}{π}$ 。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6

化简方程的两边。

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解题步骤 5.6.1

化简左边。

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解题步骤 5.6.1.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.2

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

解题步骤 5.6.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

解题步骤 5.6.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

解题步骤 5.6.2.1.2.3

重写表达式。

$x = 4 \cdot 2$

解题步骤 5.6.2.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = 8$

解题步骤 5.7

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.8.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.8.1.2

合并分数。

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解题步骤 5.8.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.8.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.8.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.8.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.8.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.8.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.2

要将 $\frac{3 π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.8.2.3.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 5.8.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

解题步骤 5.8.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.8.2.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

解题步骤 5.8.2.5.2

将 $9 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

解题步骤 5.8.2.6

约去 $10$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.2.6.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

解题步骤 5.8.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.8.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

解题步骤 5.8.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.8.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.3

等式两边同时乘以 $\frac{12}{π}$ 。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4

化简方程的两边。

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解题步骤 5.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.8.4.1.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ 。

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解题步骤 5.8.4.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.8.4.2.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ 。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.8.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

解题步骤 5.8.4.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

解题步骤 5.8.4.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

解题步骤 5.8.4.2.1.2.3

重写表达式。

$x = 4 \cdot 5$

解题步骤 5.8.4.2.1.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$x = 20$

解题步骤 5.9

方程 $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = 8, 20$

解题步骤 6

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

约去 $8$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $π (8)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

解题步骤 7.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

解题步骤 7.2.6.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

解题步骤 7.2.6.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

解题步骤 7.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

解题步骤 7.2.8

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 8$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 8$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

解题步骤 9.2.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

解题步骤 9.2.1.2.2

约去公因数。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

解题步骤 9.2.1.2.3

重写表达式。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.2.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (8) = - 2 + 5$

解题步骤 9.2.2

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$f (8) = 3$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 10

计算在 $x = 20$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

约去 $20$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1

从 $π (20)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

将 $5$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{5 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{5 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $10 π$ 中减去 $π$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.6

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.6.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

解题步骤 11.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

解题步骤 11.2.6.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

解题步骤 11.2.6.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

解题步骤 11.2.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

解题步骤 11.2.8

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

解题步骤 11.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

解题步骤 11.2.10

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

解题步骤 11.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

解题步骤 11.4

乘以 $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ 。

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解题步骤 11.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

解题步骤 11.4.2

将 $\frac{5 π^{2}}{144}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π^{2}}{144}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 20$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 20$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = 20$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $20$ 替换变量 $x$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

从 $20$ 中减去 $2$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

解题步骤 13.2.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

解题步骤 13.2.1.2.2

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

解题步骤 13.2.1.2.3

约去公因数。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

解题步骤 13.2.1.2.4

重写表达式。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 13.2.1.3

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

解题步骤 13.2.1.4

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

解题步骤 13.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.1.7

乘以 $5 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.2.1.7.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (20) = - 2 - 5$

解题步骤 13.2.2

从 $- 2$ 中减去 $5$ 。

$f (20) = - 7$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $- 7$ 。

$y = - 7$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ 的局部极值。

$(8, 3)$ 是一个局部最大值

$(20, - 7)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

代数 示例

代数示例