代数示例

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

解题步骤 1

将 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 写为等式。

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ 。

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 25$ 、 $b = 70$ 和 $c = 49 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $70$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 100$ 乘以 $49$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 100$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.6

从 $4900$ 中减去 $4900$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.7

将 $0$ 和 $100 x$ 相加。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.8

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ 。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $70$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $- 100$ 乘以 $49$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 100$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.6

从 $4900$ 中减去 $4900$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.7

将 $0$ 和 $100 x$ 相加。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.8

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ 。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.6.5

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.6.6

从 $\sqrt{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

解题步骤 3.6.7

从 $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

解题步骤 3.6.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $70$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $- 100$ 乘以 $49$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 100$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.6

从 $4900$ 中减去 $4900$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.7

将 $0$ 和 $100 x$ 相加。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.8

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ 。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.7.5

从 $- 7 - \sqrt{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.7.5.2

从 $- \sqrt{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

解题步骤 3.7.5.3

从 $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

解题步骤 3.7.5.4

将 $- 1 (7 + \sqrt{x})$ 重写为 $- (7 + \sqrt{x})$ 。

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

解题步骤 3.7.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ 是否为 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 和 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ 的定义域为 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ 的值域又为 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ 为 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

解题步骤 6

代数 示例

代数示例