代数示例

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4

约去 $x^{0}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 ${(- 1)}^{0} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{0}$ 。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $1$ 乘以 $1^{0}$ 。

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解题步骤 4.6.1

移动 $1^{0}$ 。

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.2

将 $1^{0}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.7

化简 $1^{1} x^{3}$ 。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- \frac{1}{x}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.3

约去公因数。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.4

重写表达式。

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.11

化简。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.12.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.12.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.14

将 $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.15

一的任意次幂都为一。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.3

约去公因数。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.4

重写表达式。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.17

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.18

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.20

将 ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.21

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.21.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.21.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 4.22

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 4.23

一的任意次幂都为一。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$

代数 示例

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