代数示例

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$ 。

$0 + 6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{2 π}{7} (x - 5)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ 。

$0 + 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

解题步骤 1.2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

解题步骤 1.2.3

因为 $\frac{2 π}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]))$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])))$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + 0)))$

解题步骤 1.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \cdot 1))$

解题步骤 1.2.8

将 $\frac{2 π}{7}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{2 π}{7})$

解题步骤 1.2.9

组合 $\frac{2 π}{7}$ 和 $\sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ 。

$0 + 6 (- \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7})$

解题步骤 1.2.10

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$0 - 6 \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

解题步骤 1.2.11

组合 $- 6$ 和 $\frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$ 。

$0 + \frac{- 6 (2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

解题步骤 1.2.12

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$0 + \frac{- 12 (π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

解题步骤 1.2.13

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π}{7} \cdot - 5)}{7}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{2 π}{7}$ 和 $- 5$ 。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π \cdot - 5}{7})}{7}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{- 10 π}{7})}{7}$

解题步骤 1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x - \frac{10 π}{7})}{7}$

解题步骤 1.3.2.4

组合 $\frac{2 π}{7}$ 和 $x$ 。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

解题步骤 1.3.2.5

从 $0$ 中减去 $\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ 。

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{12 π}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{12 π}{7} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})]$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ 和 $\frac{12 π}{7}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) (12 π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 2.3.2

将 $12$ 移到 $\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 π}{7}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.3.4

因为 $\frac{2 π}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 π x}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.3.6

将 $\frac{2 π}{7}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

解题步骤 2.3.7

因为 $- \frac{10 π}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{10 π}{7}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + 0)$

解题步骤 2.3.8

合并分数。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $\frac{2 π}{7}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot \frac{2 π}{7}$

解题步骤 2.3.8.2

将 $\frac{2 π}{7}$ 乘以 $\frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 π (12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.3.8.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 π (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

解题步骤 2.8

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ 中的每一项除以 $12 π$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ 中的每一项都除以 $12 π$ 。

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

解题步骤 5.1.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用 $\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{12 π}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去 $0$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $12$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.2.1

从 $12 π$ 中分解出因数 $12$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 (π)}$

解题步骤 5.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 \cdot 0}{12 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{π}$

解题步骤 5.1.3.2

用 $0$ 除以 $π$ 。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = \arcsin (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$

解题步骤 5.4

在等式两边都加上 $\frac{10 π}{7}$ 。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{10 π}{7}$

解题步骤 5.5

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$2 π x = 10 π$

解题步骤 5.6

将 $2 π x = 10 π$ 中的每一项除以 $2 π$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $2 π x = 10 π$ 中的每一项都除以 $2 π$ 。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

解题步骤 5.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

解题步骤 5.6.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

解题步骤 5.6.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{10 π}{2 π}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.1

从 $10 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

解题步骤 5.6.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 (π)}$

解题步骤 5.6.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

解题步骤 5.6.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{5 π}{π}$

解题步骤 5.6.3.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.2.1

约去公因数。

$x = \frac{5 π}{π}$

解题步骤 5.6.3.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$x = 5$

解题步骤 5.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π - 0$

解题步骤 5.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π$

解题步骤 5.8.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{10 π}{7}$ 。

$\frac{2 π x}{7} = π + \frac{10 π}{7}$

解题步骤 5.8.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{2 π x}{7} = π \cdot \frac{7}{7} + \frac{10 π}{7}$

解题步骤 5.8.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7}{7} + \frac{10 π}{7}$

解题步骤 5.8.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7 + 10 π}{7}$

解题步骤 5.8.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.8.2.5.1

将 $7$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{7 \cdot π + 10 π}{7}$

解题步骤 5.8.2.5.2

将 $7 π$ 和 $10 π$ 相加。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{17 π}{7}$

解题步骤 5.8.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$2 π x = 17 π$

解题步骤 5.8.4

将 $2 π x = 17 π$ 中的每一项除以 $2 π$ 并化简。

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解题步骤 5.8.4.1

将 $2 π x = 17 π$ 中的每一项都除以 $2 π$ 。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.4.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{17 π}{2 π}$

解题步骤 5.8.4.3.1.2

重写表达式。

$x = \frac{17}{2}$

解题步骤 5.9

方程 $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$ 的解。

$x = 5, \frac{17}{2}$

解题步骤 6

计算在 $x = 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})}{49}$

解题步骤 7.2.2

从 $10 π$ 中减去 $10 π$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{0}{7})}{49}$

解题步骤 7.2.3

用 $0$ 除以 $7$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (0)}{49}$

解题步骤 7.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cdot 1}{49}$

解题步骤 7.2.5

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2}}{49}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 5$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((5) - 5))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot 0)$

解题步骤 9.2.1.2

将 $\frac{2 π}{7}$ 乘以 $0$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

解题步骤 9.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

解题步骤 9.2.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (5) = - 1 + 6$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f (5) = 5$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{17}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{17}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2}{2} π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{17 \cdot 2}{2}$ 和 $π$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.2

将 $17$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{34 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 11.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{34 π}{2}$ 。

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解题步骤 11.3.1.1

从 $34 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 (1)}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.3.1.3

约去公因数。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 \cdot 1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.3.1.4

重写表达式。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 π}{1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.3.2

用 $17 π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.4.2

从 $17 π$ 中减去 $10 π$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.4.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

约去公因数。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

解题步骤 11.4.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cos (π)}{49}$

解题步骤 11.4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{24 π^{2} (- \cos (0))}{49}$

解题步骤 11.4.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{49}$

解题步骤 11.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{24 π^{2} \cdot - 1}{49}$

解题步骤 11.4.7

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- \frac{- 24 π^{2}}{49}$

解题步骤 11.5

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{24 π^{2}}{49}$

解题步骤 11.6

乘以 $- - \frac{24 π^{2}}{49}$ 。

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解题步骤 11.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{24 π^{2}}{49}$

解题步骤 11.6.2

将 $\frac{24 π^{2}}{49}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{24 π^{2}}{49}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{17}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{17}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = \frac{17}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{17}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((\frac{17}{2}) - 5))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 13.2.1.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 13.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 5 \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 13.2.1.4.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 10}{2})$

解题步骤 13.2.1.4.2

从 $17$ 中减去 $10$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

解题步骤 13.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π)}{7} \cdot \frac{7}{2})$

解题步骤 13.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

解题步骤 13.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

解题步骤 13.2.1.6

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.6.1

约去公因数。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

解题步骤 13.2.1.6.2

重写表达式。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

解题步骤 13.2.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

解题步骤 13.2.1.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.1.9

乘以 $6 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

解题步骤 13.2.1.9.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

解题步骤 13.2.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $- 7$ 。

$y = - 7$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ 的局部极值。

$(5, 5)$ 是一个局部最大值

$(\frac{17}{2}, - 7)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

代数 示例

代数示例