代数示例

$y = 4^{2 x + 9}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 4^{2 y + 9}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $4^{2 y + 9} = x$ 。

$4^{2 y + 9} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

通过将 $2 y + 9$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{2 y + 9})$ 。

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

解题步骤 2.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

解题步骤 2.6

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.6.1

从等式两边同时减去 $9 \ln (4)$ 。

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $\ln (x)$ 。

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

解题步骤 2.7

将 $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ 中的每一项除以 $2 \ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ 中的每一项都除以 $2 \ln (4)$ 。

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.2.2

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.1.1

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.3.1.1.2

重写表达式。

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 2.7.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ 是否为 $f (x) = 4^{2 x + 9}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ 。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

通过将 $2 x + 9$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{2 x + 9})$ 。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

解题步骤 4.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简项。

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解题步骤 4.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并 $- 9 + 2 x + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.2.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ 。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (4)$ 。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.2

运用分配律。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $- \frac{9}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

解题步骤 4.3.3.4

乘以 $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ 。

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解题步骤 4.3.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ 。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

解题步骤 4.3.3.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

解题步骤 4.3.4

合并 $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $0$ 和 $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ 相加。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ 为 $f (x) = 4^{2 x + 9}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

代数 示例

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