代数示例

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ 写为等式。

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ 。

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

解题步骤 3.2

将 $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ 中的每一项除以 $50000$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ 中的每一项都除以 $50000$ 。

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

约去 $50000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 ${0.8}^{y}$ 除以 $1$ 。

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

解题步骤 3.4

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({0.8}^{y})$ 。

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

解题步骤 3.5

将 $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ 中的每一项除以 $\ln (0.8)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ 中的每一项都除以 $\ln (0.8)$ 。

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

约去 $\ln (0.8)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ 是否为 $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ 。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5.2.3

约去 $50000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5.2.3.2

用 ${(0.8)}^{x}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5.2.4

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(0.8)}^{x})$ 。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5.2.5

约去 $\ln (0.8)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

解题步骤 5.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

解题步骤 5.3.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

解题步骤 5.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

解题步骤 5.3.5

约去 $50000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ 为 $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

代数 示例

代数示例