代数示例

$y = e^{x + 3} - 4$

解题步骤 1

交换变量。

$x = e^{y + 3} - 4$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $e^{y + 3} - 4 = x$ 。

$e^{y + 3} - 4 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$e^{y + 3} = x + 4$

解题步骤 2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

解题步骤 2.4

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

通过将 $y + 3$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y + 3})$ 。

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

解题步骤 2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

解题步骤 2.4.3

将 $y + 3$ 乘以 $1$ 。

$y + 3 = \ln (x + 4)$

解题步骤 2.5

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = \ln (x + 4) - 3$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ 是否为 $f (x) = e^{x + 3} - 4$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ 。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

解题步骤 4.2.3

合并 $\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

解题步骤 4.2.3.2

将 $e^{x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

使用对数规则把 $x + 3$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

解题步骤 4.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

解题步骤 4.2.4.3

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

解题步骤 4.2.5

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (x + 4) - 3)$ 。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

解题步骤 4.3.3

合并 $e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\ln (x + 4)$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

解题步骤 4.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

解题步骤 4.3.5

合并 $x + 4 - 4$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ 为 $f (x) = e^{x + 3} - 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

代数 示例

代数示例