代数示例

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ 。

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{y + 2}$ 。

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

解题步骤 2.3.1.2.2

重写表达式。

$e^{y + 2} = 5 x$

解题步骤 2.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

解题步骤 2.5

展开左边。

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解题步骤 2.5.1

通过将 $y + 2$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y + 2})$ 。

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

解题步骤 2.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

解题步骤 2.5.3

将 $y + 2$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 = \ln (5 x)$

解题步骤 2.6

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \ln (5 x) - 2$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{x + 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

解题步骤 4.2.3.3

使用对数规则把 $x + 2$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

解题步骤 4.2.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

解题步骤 4.2.3.5

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

解题步骤 4.2.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (5 x) - 2)$ 。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

解题步骤 4.3.3

合并 $(\ln (5 x) - 2) + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\ln (5 x)$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

解题步骤 4.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

解题步骤 4.3.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

解题步骤 4.3.5.3

重写表达式。

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ 为 $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

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