代数示例

$y = 2 \sqrt[5]{x}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 2 \sqrt[5]{y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2 \sqrt[5]{y} = x$ 。

$2 \sqrt[5]{y} = x$

解题步骤 2.2

将 $2 \sqrt[5]{y} = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 \sqrt[5]{y} = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sqrt[5]{y}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt[5]{y} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{5}}$ 。

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4.2.1.2

化简。

$y = {(\frac{x}{2})}^{5}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(\frac{x}{2})}^{5}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{5}}{2^{5}}$

解题步骤 2.4.3.1.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$y = \frac{x^{5}}{32}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ 是否为 $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x})$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{{(2 \sqrt[5]{x})}^{5}}{32}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $2 \sqrt[5]{x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{2^{5} {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

解题步骤 4.2.3.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3

将 ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.5

化简。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

解题步骤 4.2.4

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{5}}{32})$ 。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

解题步骤 4.3.3

去掉圆括号。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

解题步骤 4.3.4

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2^{5}}}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{x^{5}}{2^{5}}$ 重写为 ${(\frac{x}{2})}^{5}$ 。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{{(\frac{x}{2})}^{5}}$

解题步骤 4.3.6

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 4.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 4.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{5}}{32}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ 为 $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

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