代数示例

$f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ 写为等式。

$y = \frac{2 x - 3}{5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{2 y - 3}{5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{2 y - 3}{5} = x$ 。

$\frac{2 y - 3}{5} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $5$ 。

$\frac{2 y - 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y - 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$2 y - 3 = x \cdot 5$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 y - 3 = 5 x$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 y = 5 x + 3$

解题步骤 3.4.2

将 $2 y = 5 x + 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2 y = 5 x + 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$ 是否为 $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5})$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5})}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5}) + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5}) + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

解题步骤 5.2.5

合并 $2 x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2})$ 。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 3 - 3}{5}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 0}{5}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $5 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 5.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$ 为 $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

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