代数示例

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $20$ 以使方程右边等于一。

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 4.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

解题步骤 4.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 + 5}$

解题步骤 4.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\sqrt{9}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3$

解题步骤 5

求焦点。

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解题步骤 5.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 5.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, 3)$

解题步骤 5.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 5.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 3)$

解题步骤 5.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(0, 3), (0, - 3)$

解题步骤 6

代数 示例

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