代数示例

${(x + 2 y)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(2 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(2 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{4} \cdot (2^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

$2^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.5

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.7

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot (2 y) + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.10

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 x^{2} \cdot (2^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.12

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot 2^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot 4 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.14

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.15

化简。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot x \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 x \cdot (2^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.17

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 2^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.18

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 8 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.19

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.20

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.21

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.22

将 ${(2 y)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + {(2 y)}^{4}$

解题步骤 4.23

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 2^{4} y^{4}$

解题步骤 4.24

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}$

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