代数示例

$y = 2^{3 x - 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 2^{3 y - 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2^{3 y - 1} = x$ 。

$2^{3 y - 1} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

通过将 $3 y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{3 y - 1})$ 。

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $(3 y - 1) \ln (2)$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

运用分配律。

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.1.2

将 $- 1 \ln (2)$ 重写为 $- \ln (2)$ 。

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

解题步骤 2.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

解题步骤 2.6

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.6.1

在等式两边都加上 $\ln (2)$ 。

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $\ln (x)$ 。

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

解题步骤 2.7

将 $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ 中的每一项除以 $3 \ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ 中的每一项都除以 $3 \ln (2)$ 。

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.2.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 2.7.3.1.2

重写表达式。

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ 是否为 $f (x) = 2^{3 x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ 。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

通过将 $3 x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{3 x - 1})$ 。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

解题步骤 4.2.4

化简项。

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解题步骤 4.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

合并 $1 + 3 x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 4.2.4.2.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ 。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (2)$ 。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

解题步骤 4.3.3.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3.2

运用分配律。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

解题步骤 4.3.3.4

乘以 $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ 。

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解题步骤 4.3.3.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ 。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

解题步骤 4.3.3.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

解题步骤 4.3.4

合并 $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $0$ 和 $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ 相加。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ 为 $f (x) = 2^{3 x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

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