代数示例

$f (x) = \frac{x + 5}{x - 2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x + 5}{x - 2}$ 写为等式。

$y = \frac{x + 5}{x - 2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y + 5}{y - 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 2$ 。

$(y - 2) (x) = (\frac{y + 5}{y - 2}) (y - 2)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y x - 2 x = (\frac{y + 5}{y - 2}) (y - 2)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$y x - 2 x = \frac{y + 5}{y - 2} (y - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y x - 2 x = y + 5$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y x - 2 x - y = 5$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$y x - y = 5 + 2 x$

解题步骤 3.4.3

从 $y x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - y = 5 + 2 x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 + 2 x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 1) = 5 + 2 x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (x - 1) = 5 + 2 x$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (x - 1) = 5 + 2 x$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 + 2 x}{x - 1}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 2 x}{x - 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 2 x}{x - 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{x + 5}{x - 2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{5 + 2 (\frac{x + 5}{x - 2})}{(\frac{x + 5}{x - 2}) - 1}$

解题步骤 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{5 + 2 \frac{x + 5}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{5 + 2 (\frac{x + 5}{x - 2})}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1}$

解题步骤 5.2.3.2

合并。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (5 + 2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 5}{x - 2} - 1)}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 5 + (x - 2) (2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 5}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 5 + (x - 2) (2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 5}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 5 + (x - 2) (2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $(x - 2) \cdot 5 + (x - 2) \cdot 2 \frac{x + 5}{x - 2}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

从 $(x - 2) \cdot 5$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (5) + (x - 2) (2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.1.2

从 $(x - 2) (5) + (x - 2) (2 \frac{x + 5}{x - 2})$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (5 + 2 (\frac{x + 5}{x - 2}))}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.2

组合 $2$ 和 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (5 + \frac{2 (x + 5)}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2 (x + 5)}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5

以因式分解的形式重写 $\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2}$ 。

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解题步骤 5.2.6.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 5 \cdot - 2 + 2 (x + 5)}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 (x + 5)}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 x + 2 \cdot 5}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 10 + 2 x + 10}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.5

将 $5 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 10 + 10}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.6

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6.5.7

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{x + 5 + (x - 2) \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.7

化简分母。

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解题步骤 5.2.7.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{x + 5 + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.7.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{x + 5 - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.7.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{x + 5 - 1 \cdot x + 2}$

解题步骤 5.2.7.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{x + 5 - x + 2}$

解题步骤 5.2.7.5

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 5 + 2}$

解题步骤 5.2.7.6

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{5 + 2}$

解题步骤 5.2.7.7

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

解题步骤 5.2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.8.1

从 $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ 中分解出因数 $\frac{7 x}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

解题步骤 5.2.8.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.8.3

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.8.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x - 2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 + 2 x}{x - 1})$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + 5}{(\frac{5 + 2 x}{x - 1}) - 2}$

解题步骤 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{\frac{5 + 2 x}{x - 1} + 5}{\frac{5 + 2 x}{x - 1} - 2}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{5 + 2 x}{x - 1} + 5}{\frac{5 + 2 x}{x - 1} - 2}$

解题步骤 5.3.3.2

合并。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1} + 5)}{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1} - 2)}$

解题步骤 5.3.4

运用分配律。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 5}{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5

通过相约进行化简。

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解题步骤 5.3.5.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 5}{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5.1.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + (x - 1) \cdot 5}{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5.2

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.2.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + (x - 1) \cdot 5}{(x - 1) (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.5.2.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + (x - 1) \cdot 5}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + x \cdot 5 - 1 \cdot 5}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + 5 \cdot x - 1 \cdot 5}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 + 2 x + 5 \cdot x - 5}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.4

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 5 x + 0}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.5

将 $2 x + 5 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 5 x}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.6.6

将 $2 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{5 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7

化简分母。

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解题步骤 5.3.7.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{5 + 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{5 + 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

解题步骤 5.3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{5 + 2 x - 2 \cdot x + 2}$

解题步骤 5.3.7.4

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{2 x - 2 x + 7}$

解题步骤 5.3.7.5

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{0 + 7}$

解题步骤 5.3.7.6

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.3.8

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.3.8.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 + 2 x}{x - 1}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 2 x}{x - 1}$ 为 $f (x) = \frac{x + 5}{x - 2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 2 x}{x - 1}$

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