代数示例

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于

1

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

1

$1$ 。

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量

h

$h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量，

k

$k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量，

a

$a$ 。

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合

(h, k)

$(h, k)$ 的形式。代入

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处

c

$c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{4 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

解题步骤 5.3.3

将

4

$4$ 和

1

$1$ 相加。

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过

h

$h$ 加上

a

$a$ 求得。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(2, 0)

$(2, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从

h

$h$ 中减去

a

$a$ 求得。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过

c

$c$ 加上

h

$h$ 求得。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将

h

$h$ 、

c

$c$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从

h

$h$ 中减去

c

$c$ 求得。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将

h

$h$ 、

c

$c$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(- \sqrt{5}, 0)

$(- \sqrt{5}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

解题步骤 8.3.3

将

4

$4$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将

b

$b$ 和

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

一的任意次幂都为一。

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2

将

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3.2

对

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.3.3

对

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为

5

$5$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ 重写成

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ 。

\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

解题步骤 11

化简

$\frac{1}{2} x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将

$\frac{1}{2} x$ 和

$0$ 相加。

$y = \frac{1}{2} x$

解题步骤 11.2

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x$ 。

$y = \frac{x}{2}$

解题步骤 12

化简

$- \frac{1}{2} x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将

$- \frac{1}{2} x$ 和

$0$ 相加。

$y = - \frac{1}{2} x$

解题步骤 12.2

组合

$x$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{2}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点：

$(0, 0)$

顶点：

$(2, 0), (- 2, 0)$

焦点：

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

离心率：

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

焦点参数：

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

渐近线：

$y = \frac{x}{2}$ ，

$y = - \frac{x}{2}$

解题步骤 15

代数 示例

代数示例