代数示例

y = 4 x - x^{2}

$y = 4 x - x^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

将

$4 x$ 和

$- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 4 x$

解题步骤 1.1.2

对

$- x^{2} + 4 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.2.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.2.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

约去

$4$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2.1.2

移动

$\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.1.2.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.1

约去

$4^{2}$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.1.1

从

$4^{2}$ 中分解出因数

$4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.1.2

移动

$\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.2

乘以

$- (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$e = 0 - - 4$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 4$ 。

$e = 0 + 4$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将

$0$ 和

$4$ 相加。

$e = 4$

解题步骤 1.1.2.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ 。

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

解题步骤 1.1.3

将

$y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

解题步骤 1.2

使用顶点式

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

$a$ 、

$h$ 和

$k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

解题步骤 1.3

因为

$a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点

$(h, k)$ 。

$(2, 4)$

解题步骤 1.5

求

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将

$a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3

约去

$1$ 和

$- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

将

$1$ 重写为

$- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

$p$ 加上 y 轴坐标

$k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将

$h$ 、

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2, \frac{15}{4})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 2$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

$k$ 减去

$p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{17}{4}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点：

$(2, 4)$

焦点：

$(2, \frac{15}{4})$

对称轴：

$x = 2$

准线：

$y = \frac{17}{4}$

方向：开口向下

顶点：

$(2, 4)$

焦点：

$(2, \frac{15}{4})$

对称轴：

$x = 2$

准线：

$y = \frac{17}{4}$

解题步骤 2

选取几个

$x$ 的值，将其代入方程以求对应的

$y$ 值，所选取的

$x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

解题步骤 2.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

解题步骤 2.2.1.3

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = - 1 + 4$

解题步骤 2.2.2

将

$- 1$ 和

$4$ 相加。

$f (1) = 3$

解题步骤 2.2.3

最终答案为

$3$ 。

$3$

解题步骤 2.3

$y$ 在

$x = 1$ 处的值为

$3$ 。

$y = 3$

解题步骤 2.4

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

解题步骤 2.5.1.2

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 4 (0)$

解题步骤 2.5.1.3

将

$4$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 2.5.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 2.5.3

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 2.6

$y$ 在

$x = 0$ 处的值为

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.7

使用表达式中的

$3$ 替换变量

$x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

解题步骤 2.8.1.2

将

$- 1$ 乘以

$9$ 。

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

解题步骤 2.8.1.3

将

$4$ 乘以

$3$ 。

$f (3) = - 9 + 12$

解题步骤 2.8.2

将

$- 9$ 和

$12$ 相加。

$f (3) = 3$

解题步骤 2.8.3

最终答案为

$3$ 。

$3$

解题步骤 2.9

$y$ 在

$x = 3$ 处的值为

$3$ 。

$y = 3$

解题步骤 2.10

使用表达式中的

$4$ 替换变量

$x$ 。

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

解题步骤 2.11.1.2

将

$- 1$ 乘以

$16$ 。

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

解题步骤 2.11.1.3

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$f (4) = - 16 + 16$

解题步骤 2.11.2

将

$- 16$ 和

$16$ 相加。

$f (4) = 0$

解题步骤 2.11.3

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 2.12

$y$ 在

$x = 4$ 处的值为

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点：

$(2, 4)$

焦点：

$(2, \frac{15}{4})$

对称轴：

$x = 2$

准线：

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例