代数示例

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$

解题步骤 1

将

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ 写为等式。

y = - 2 x^{3} + 1

$y = - 2 x^{3} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

x = - 2 y^{3} + 1

$x = - 2 y^{3} + 1$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$ 。

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$

解题步骤 3.3

将

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ 中的每一项除以

- 2

$- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ 中的每一项都除以

- 2

$- 2$ 。

\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去

- 2

$- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用

$y^{3}$ 除以

$1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5

化简

$\sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$

解题步骤 3.5.2

将

$\sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.5.3

将

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

对

$\sqrt[3]{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.4.4

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.5.4.5

将

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.4.5.3

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.5.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.5.1

将

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为

$\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.5.5.2

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.5.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.5.6.2

将

$\frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

解题步骤 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

解题步骤 5

验证

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ 是否为

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

$f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

$f$ 的值代入

$f^{- 1}$ 来计算

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1)$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3} + 1) + 1)}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

运用分配律。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3}) - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 + 1)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

将

$2 x^{3}$ 和

$0$ 相加。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

解题步骤 5.2.3.6

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.7

将

$8 x^{3}$ 重写为

${(2 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算

$f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

$f^{- 1}$ 的值代入

$f$ 来计算

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对

$\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将

${\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}$ 重写为

$4 (- x + 1)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{4 (- x + 1)}$ 重写成

${(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{({(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.3

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.5

从

$- 4 x + 4$ 中分解出因数

$4$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.5.1

从

$- 4 x$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.5.2

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 (1)}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.5.3

从

$4 (- x) + 4 (1)$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

解题步骤 5.3.3.3

对

$2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{8} + 1$

解题步骤 5.3.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从

$- 2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{4 (- x + 1)}{8}) + 1$

解题步骤 5.3.3.4.2

从

$8$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

解题步骤 5.3.3.4.3

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

解题步骤 5.3.3.4.4

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

解题步骤 5.3.3.5

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

解题步骤 5.3.3.5.2

用

$- x + 1$ 除以

$1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x + 1) + 1$

解题步骤 5.3.3.6

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 5.3.3.7

乘以

$- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 5.3.3.7.2

将

$x$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 5.3.3.8

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.4

合并

$x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将

$x$ 和

$0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ 为

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

代数 示例

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