代数示例

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.1.1

使用 FOIL 方法展开

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1.1

运用分配律。

x (x - 3) + 2 (x - 3)

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

解题步骤 1.1.1.1.1.2

运用分配律。

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

解题步骤 1.1.1.1.1.3

运用分配律。

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1.1

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.2

将

- 3

$- 3$ 移到

x

$x$ 的左侧。

x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.1.1.2.1.3

将

2

$2$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

解题步骤 1.1.1.1.2.2

将

- 3 x

$- 3 x$ 和

2 x

$2 x$ 相加。

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

解题步骤 1.1.1.2

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = - 1

$b = - 1$

c = - 6

$c = - 6$

解题步骤 1.1.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

约去

- 1

$- 1$ 和

1

$1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

将

- 1

$- 1$ 重写为

- 1 (1)

$- 1 (1)$ 。

d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

约去公因数。

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.1.1.5

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.5.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.2

要将

$- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.3

组合

$- 6$ 和

$\frac{4}{4}$ 。

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.5.2.5.1

将

$- 6$ 乘以

$4$ 。

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.5.2

从

$- 24$ 中减去

$1$ 。

$e = \frac{- 25}{4}$

解题步骤 1.1.1.5.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.6

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.2

将

$y$ 设为等于右边新的值。

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.2

使用顶点式

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

$a$ 、

$h$ 和

$k$ 的值。

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.3

因为

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点

$(h, k)$ 。

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

解题步骤 1.5

求

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将

$a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3

约去

$1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

$p$ 加上 y 轴坐标

$k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将

$h$ 、

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{1}{2}, - 6)$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

$k$ 减去

$p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{13}{2}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

对称轴：

$x = \frac{1}{2}$

准线：

$y = - \frac{13}{2}$

方向：开口向上

顶点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

对称轴：

$x = \frac{1}{2}$

准线：

$y = - \frac{13}{2}$

解题步骤 2

选取几个

$x$ 的值，将其代入方程以求对应的

$y$ 值，所选取的

$x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

$- 1$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将

$- 1$ 和

$2$ 相加。

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

解题步骤 2.2.2

将

$(- 1) - 3$ 乘以

$1$ 。

$f (- 1) = (- 1) - 3$

解题步骤 2.2.3

从

$- 1$ 中减去

$3$ 。

$f (- 1) = - 4$

解题步骤 2.2.4

最终答案为

$- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.3

$y$ 在

$x = - 1$ 处的值为

$- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.4

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

将

$- 2$ 和

$2$ 相加。

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

解题步骤 2.5.2

从

$- 2$ 中减去

$3$ 。

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

解题步骤 2.5.3

将

$0$ 乘以

$- 5$ 。

$f (- 2) = 0$

解题步骤 2.5.4

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 2.6

$y$ 在

$x = - 2$ 处的值为

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.7

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

解题步骤 2.8.2

从

$1$ 中减去

$3$ 。

$f (1) = 3 \cdot - 2$

解题步骤 2.8.3

将

$3$ 乘以

$- 2$ 。

$f (1) = - 6$

解题步骤 2.8.4

最终答案为

$- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 2.9

$y$ 在

$x = 1$ 处的值为

$- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 2.10

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

将

$2$ 和

$2$ 相加。

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

解题步骤 2.11.2

从

$2$ 中减去

$3$ 。

$f (2) = 4 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.3

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$f (2) = - 4$

解题步骤 2.11.4

最终答案为

$- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.12

$y$ 在

$x = 2$ 处的值为

$- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

对称轴：

$x = \frac{1}{2}$

准线：

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例