代数示例

$\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{64}$

解题步骤 2.2

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$1 \cdot 64 = x^{3} \cdot 1$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$ 。

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$

解题步骤 2.3.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} = 1 \cdot 64$

解题步骤 2.3.3

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} = 64$

解题步骤 2.3.4

从等式两边同时减去 $64$ 。

$x^{3} - 64 = 0$

解题步骤 2.3.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$x^{3} - 4^{3} = 0$

解题步骤 2.3.5.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.5.3

化简。

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解题步骤 2.3.5.3.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.5.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

解题步骤 2.3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

解题步骤 2.3.7

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.3.7.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.3.8

将 $x^{2} + 4 x + 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $x^{2} + 4 x + 16$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

解题步骤 2.3.8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.8.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.8.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 16$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3

化简。

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解题步骤 2.3.8.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.8.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

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解题步骤 2.3.8.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.8.2.3.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.8.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.8.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.9

最终解为使 $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

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