代数示例

$\frac{y + 7}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - 7 y + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $- 7$ 。

$- 5, - 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 5^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y + 5}{y + 5}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y - 2}{y - 2}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ 乘以 $\frac{y + 5}{y + 5}$ 。

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ 乘以 $\frac{y - 2}{y - 2}$ 。

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ 的因式。

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(y + 5) (y - 5) (y - 2)$ 的因式。

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(y + 7) (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 7) (y + 5)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{y (y + 5) + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $5$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{y^{2} + 5 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$\frac{y^{2} + 5 y + 7 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.2.2

将 $5 y$ 和 $7 y$ 相加。

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y - 7 \cdot - 2}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.4

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.5

从 $12 y$ 中减去 $7 y$ 。

$\frac{y^{2} + 5 y + 35 + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

解题步骤 6.6

将 $35$ 和 $14$ 相加。

$\frac{y^{2} + 5 y + 49}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

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