代数示例

$x^{6} - 9 x^{3} + 8 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

${(x^{3})}^{2} - 9 x^{3} + 8 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 9 u + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 9$ 。

$- 8, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{3} - 8) (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 5

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$(x^{3} - 2^{3}) (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 6

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} - 1) = 0$

解题步骤 8

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} - 1^{3}) = 0$

解题步骤 9

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

解题步骤 10.1.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 13

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 13.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3

化简。

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解题步骤 13.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 13.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 13.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 14

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 14.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 15

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 15.1

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 15.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 15.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 15.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3

化简。

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解题步骤 15.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 15.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 15.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 15.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 15.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 15.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 15.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 15.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 15.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 15.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 15.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 15.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 16

最终解为使 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

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