代数示例

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\frac{12}{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ 。

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解题步骤 2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{3 x}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $\frac{3 x}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

从 $3 x (x - 1) - 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $3 x (x - 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.1.3

从 $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.4

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.5.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

解题步骤 2.6

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.2

化简。

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解题步骤 2.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.2.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.9.5.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.5.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.5.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.7

从 $3 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.8

将 $- 12$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.9

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.9.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 2.9.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 3

将分子设为等于零。

$(x - 5) (x + 2) = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.2

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.4

最终解为使 $(x - 5) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 2$

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