代数示例

$f (x) = x^{2} + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} + 1$ 写为等式。

$y = x^{2} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{2} + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{2} + 1 = x$ 。

$y^{2} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y^{2} = x - 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x - 1}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x - 1}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x - 1}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 是否为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x^{2} + 1$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = x^{2} + 1$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[1, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\sqrt{x - 1}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{x - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 \geq 0$

解题步骤 5.3.2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x \geq 1$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[1, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = x^{2} + 1$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的定义域为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的值域又为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

解题步骤 6

代数 示例

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