代数示例

$- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$

解题步骤 1

从 $- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3}) + 14 x^{2} - 24 x + 20$

解题步骤 1.2

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) - 24 x + 20$

解题步骤 1.3

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 20$

解题步骤 1.4

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

解题步骤 1.5

从 $2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

解题步骤 1.6

从 $2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$

解题步骤 1.7

从 $2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10)$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

解题步骤 2.1.3

代入 $5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $5$ 代入多项式。

$- 5^{3} + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $125$ 。

$- 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 125 + 7 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.5

将 $7$ 乘以 $25$ 。

$- 125 + 175 - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 125$ 和 $175$ 相加。

$50 - 12 \cdot 5 + 10$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$50 - 60 + 10$

解题步骤 2.1.3.8

从 $50$ 中减去 $60$ 。

$- 10 + 10$

解题步骤 2.1.3.9

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10}{x - 5}$

解题步骤 2.1.5

用 $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ 除以 $x - 5$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$10$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + 5 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 10 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							-	$2 x$	+	$10$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 10$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + 2 x - 2$

解题步骤 2.1.6

将 $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ 书写为因数的集合。

$2 ((x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2)$

解题步骤 3

因数。

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解题步骤 3.1

从 $- x^{2} + 2 x - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (x - 5) (- (x^{2}) + 2 x - 2)$

解题步骤 3.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 2)$

解题步骤 3.1.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 (2))$

解题步骤 3.1.4

从 $- (x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x) - 1 (2))$

解题步骤 3.1.5

从 $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x + 2))$

解题步骤 3.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 5) \cdot - 1 (x^{2} - 2 x + 2)$

解题步骤 4

合并指数。

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解题步骤 4.1

提取负因数。

$- (2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 ((x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

解题步骤 5

去掉多余的括号。

$- 2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2)$

代数 示例

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