代数示例

$x^{4} - 9 x^{2} + 8 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 8 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 9 u + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 9$ 。

$- 8, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 8) (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x^{2} - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 6

因数。

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解题步骤 6.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{2} - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 6.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 8

将 $x^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 8 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{2} = 8$

解题步骤 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

解题步骤 8.2.3

化简 $\pm \sqrt{8}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 8.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 9

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 10

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 11

最终解为使 $(x^{2} - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 1$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 1$

小数形式：

$x = 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots, - 1, 1$

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