代数示例

$y = - x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

对 $- x^{2} + 2 x + 1$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 1$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 1$

$d = - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$d = - 1$

$d = - 1$

$d = - 1$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $- 4$ 。

$e = 1 - - 1$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 1 + 1$

$e = 1 + 1$

解题步骤 1.1.4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e = 2$

$e = 2$

$e = 2$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - 1)}^{2} + 2$ 。

$- {(x - 1)}^{2} + 2$

$- {(x - 1)}^{2} + 2$

解题步骤 1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(x - 1)}^{2} + 2$

$y = - {(x - 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 2$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(1, 2)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(1, \frac{7}{4})$

$(1, \frac{7}{4})$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 1$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$