代数示例

$x^{4} + 13 x^{2} + 36 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} + 13 x^{2} + 36 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} + 13 u + 36 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 13 u + 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $36$ ，和为 $13$ 。

$4, 9$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 4) (u + 9) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 4) (x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 6

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 6.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 7

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 7.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 7.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 7.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 7.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 7.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 7.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 7.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 8

最终解为使 $(x^{2} + 4) (x^{2} + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, 3 i, - 3 i$

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