代数示例

$f (x) = x^{3} + 5$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{3} + 5$ 写为等式。

$y = x^{3} + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{3} + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{3} + 5 = x$ 。

$y^{3} + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$y^{3} = x - 5$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{x - 5}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 5}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 5}$ 是否为 $f (x) = x^{3} + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{3} + 5)$ 。

$f^{- 1} (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{(x^{3} + 5) - 5}$

解题步骤 5.2.3

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f^{- 1} (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 5.2.4

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{3} + 5) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (x^{3} + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{x - 5})$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = {(\sqrt[3]{x - 5})}^{3} + 5$

解题步骤 5.3.3

将 ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ 重写为 $x - 5$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 5}$ 重写成 ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 5$

解题步骤 5.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 5$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = (x - 5) + 5$

解题步骤 5.3.3.5

化简。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x - 5}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 5}$ 为 $f (x) = x^{3} + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 5}$

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