代数示例

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

解题步骤 1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

解题步骤 1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

解题步骤 2

通过因式分解出最大公因数 $x^{3} - 1$ 来因式分解多项式。

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

解题步骤 4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

解题步骤 6

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

解题步骤 7

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

解题步骤 8

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 9

因数。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 9.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 9.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

解题步骤 9.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 10

合并指数。

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解题步骤 10.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 10.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 11

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

解题步骤 12

一的任意次幂都为一。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

解题步骤 13

因数。

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解题步骤 13.1

以因式分解的形式重写 $x^{4} + x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 13.1.1

重写中间项。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

解题步骤 13.1.2

重新整理项。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

解题步骤 13.1.3

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

解题步骤 13.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2} + 1$ 和 $b = x$ 。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

解题步骤 13.1.5

化简。

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解题步骤 13.1.5.1

重新排序项。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

解题步骤 13.1.5.2

重新排序项。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

解题步骤 13.2

去掉多余的括号。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

解题步骤 14

合并指数。

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解题步骤 14.1

对 $x^{2} + x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

解题步骤 14.2

对 $x^{2} + x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

解题步骤 14.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

解题步骤 14.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

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