代数示例

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{4}}$ 。

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

解题步骤 2.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

解题步骤 2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{3} = 64^{4}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

对 $64$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{3} = 16777216$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $16777216$ 。

$x^{3} - 16777216 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

将 $16777216$ 重写为 $256^{3}$ 。

$x^{3} - 256^{3} = 0$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 256$ 。

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $256$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

对 $256$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x - 256$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x - 256$ 设为等于 $0$ 。

$x - 256 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $256$ 。

$x = 256$

解题步骤 3.5

将 $x^{2} + 256 x + 65536$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x^{2} + 256 x + 65536$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 256$ 和 $c = 65536$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3

化简。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

对 $256$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $65536$ 。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

从 $65536$ 中减去 $262144$ 。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.4

将 $- 196608$ 重写为 $- 1 (196608)$ 。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (196608)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ 。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.7

将 $196608$ 重写为 $256^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.7.1

从 $196608$ 中分解出因数 $65536$ 。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.7.2

将 $65536$ 重写为 $256^{2}$ 。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.9

将 $256$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.2.3.3

化简 $\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

解题步骤 3.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ 成立的所有值。

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

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