代数示例

$\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{5} ((x + 12) (x - 12)) = 2$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 12) (x - 12)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{5} (x (x - 12) + 12 (x - 12)) = 2$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 (x - 12)) = 2$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

解题步骤 1.3

化简项。

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解题步骤 1.3.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.1.1

按照 $x \cdot - 12$ 和 $12 x$ 重新排列因数。

$\log_{5} (x \cdot x - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 12 \cdot - 12) = 2$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\log_{5} (x \cdot x + 12 \cdot - 12) = 2$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{5} (x^{2} + 12 \cdot - 12) = 2$

解题步骤 1.3.2.2

将 $12$ 乘以 $- 12$ 。

$\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{2} = x^{2} - 144$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} - 144 = 5^{2}$ 。

$x^{2} - 144 = 5^{2}$

解题步骤 3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} - 144 = 25$

解题步骤 3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $144$ 。

$x^{2} = 25 + 144$

解题步骤 3.3.2

将 $25$ 和 $144$ 相加。

$x^{2} = 169$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{169}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{169}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{13^{2}}$

解题步骤 3.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 13$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 13$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 13$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 13, - 13$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$ 成立的解。

$x = 13$

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